IntroductionBeaucoup de sites répertorient des objets fractals. J'ai essayé de mettre un peu de nouvauté dans le mien en ne présentant pas uniquement ces images complexes (Mandelbrot ou Julia) mais en passant par une approche style terre à terre, pourquoi s'appellent-ils ainsi, comment obtenir, pour les plus simples (fractales par itération), leur dimension. Néanmoins, si cela ne vous suffisait pas, vous trouverez tout votre bonheur sur les liens suivants:
http://perso.wanadoo.fr/charles.vassallo/index.html Cela n'engage que moi, mais la partie "reflexion sur les fractales et l'art" fourmille d'informations des plus diverses en plus des images. Mandelbrot, Von Koch, Markus-Lyapounov, la peinture fractale, la photographie fractale... Si vous voulez en savoir un peu plus que de voir des images, c'est un site incontournable.
http://graffiti.u-bordeaux.fr/MAPBX/roussel/fractales.html Une bibliothèque d'images réalisées par leur créateurs respectifs (plus de 130 images de l'ensemble de Mandelbrot par exemple)
http://perso.wanadoo.fr/sc-sc/index2.htm Zooms sur l'ensemble de Mandelbrot et Julia.
Et si vous n'êtes pas rassasié(e), et bien, il ne vous reste plus qu'à lancer votre moteur de recherche favori.
Le monde dans lequel nous vivons est souvent perçu comme un monde dont les dimensions sont entières: 1 pour la ligne droite, 2 pour le plan et 3 pour le volume (sans oublier 4 pour l'espace-temps et sans parler d'un monde à 10 où 15 dimensions dans les théories de super-symètrie de la physique des particules). Et pourtant, ils existent des objets - pas seulement mathématiques - dont la dimension est fractionaire voir irrationnelle.
Pour
mesurer le périmètre d'un cercle comme sur la figure
ci-contre, il suffit simplement d'utiliser une unité de
longueur l de plus en plus faible (içi le coté
des polygônes inscrits). En répétant ceci à
l'infini, le périmètre L du polygône de
coté l va atteindre la limite qui est l'aire du
cercle.
Pour les objets fractals, ce raisonement ne tient plus la route. Benoît Mandelbrot, précurseur dans l'étude des objets de dimension fractionnaire, a découvert que plus l'unité de longueur l diminue, plus la grandeur X mesurée augmente pour devenir infinie. Pour les fractales, on obtient la relation:
X( l ) = cte * l NX - D
où cte est une constante, D est la dimension fractale de l'objet et NX la dimension naturelle de ce qui est mesurée ( 1 si on mesure une longueur, 2 pour une surface et 3 pour un volume). Par exemple, si on mesure la surface S( l ) d'un carré, NS = 2, et cette surface ne dépend pas de l'unité de longueur l choisie. Que l'on prenne un mètre ou un double décimètre pour mesurer cette surface, la valeur obtenue est identique donc D = 2 et cte est la surface du carré.
De la régularité dans
l'irrégularité
Appliquons ce principe à un objet fractal simple qui est la poussière de Kantor
La poussière de Kantor ressemble étrangement à un spectre d'absorption. Pour obtenir cette fractale, on prend un segment que l'on partage en trois et dont on enlève la partie du milieu. On recommence la même opération pour les segments restants et ceci infiniment. Si on considère que le premier segment est la première itération (n=1), la dernière ligne de la figure 2-1 est la sixième itération (n=6). Calculons la longueur totale L à chaque itération en prenant comme unité de longueur l la longueur d'un segment:
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 Figure 2-1 : Poussière de Kantor |
La loi d'échelle
est la suivante:
ln( L ) = n (ln2 - ln3)
ln( l )
= - n ln3
soit ln( L ) = ln( l )( 1- ln2/ln3 )
On obtient finalement la relation:
L = l(1-ln2/ln3)
La dimension fractale de la poussière de Kantor est ln2 / ln3.
Si on regarde bien la figure 2-1 pour la sixième itération, la partie de gauche est identique à celle de droite. On peut retrouver beaucoup plus rapidement la dimension fractale de l'objet. Si on prend la moitié (demi=2) du fractal, un agrandissement d'ordre 3 permet de retrouver le fractal d'origine. En géometrie, c'est une similitude interne ou une invariance d'échelle. La dimension du fractale est alors ln2 / ln3.
L'invariance d'échelle est un principe que l'on retrouve souvent dans les objets fractals. Ils apparaissent de la même manière qu'on les regarde dans leur ensemble ou bien que l'on veut faire un grossissement d'une de leur partie. C'est le cas des objets fractals obtenus par itération comme la poussière de Kantor ou le tapis de Sierpinski.
On va appliquer ce principe sur la fractale de la figure ci-contre. Pour l'obtenir, on prend un triangle. Sur les quatre petits triangles inscrits dans ce dernier, on enlève celui du milieu. On recommence cette opération sur les triangles restants ceci infiniment. On obtient la figure 2-2 (cas de l'itération d'ordre 7). Si l'on prend le tiers (3) de la figure - le triangle du haut par exemple - un agrandissement d'ordre 2 redonne la fractale d'origine. La dimension fractale du tapis de Sierpinski est ln3 / ln2 d'aprés le principe d'invariance d'échelle. Essayons de retrouver cette relation en déterminant la surface S en fonction d'un élément de longueur l qui est la base d'un triangle. On appelle a l'angle gauche du triangle (45°).
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 Figure 2-2: Tapis de Sierpinski |
La loi d'échelle
est la suivante:
ln( S ) = n (ln3 - 2ln2) - ln( 4/tan(a)
)
ln( l ) = - n ln2
soit ln( S ) = ln( l
)( 2- ln3/ln2 ) - ln( 4/tan(a) )
On obtient finalement la relation:
S = tan(a)/4 * l(2-ln3/ln2)
La dimension fractale du tapis de Sierpinski est ln3 / ln2. On retrouve la dimension prédite. tan( a )/4 est l'aire du triangle dont la base est de longueur 1.
"La dimension fractionnaire mesure l'irrégularité d'un objet, c'est-à-dire son efficacité à occuper l'espace." (Trinh Xuan ThUan: Le Chaos et l'harmonie). D'ailleurs, le terme de fractal (du latin fractus ) veut dire cassé, irrégulier, et puis il rappelle le mot "fraction", non entier. Le fait de dire qu'un objet fractal est caractérisé par son efficacité à remplir l'espace est assez simple à comprendre. La poussière de Kantor (Figure 2-1) n'est ni un point (dimension 0), ni une ligne géométrie (dimension 1). Sa dimension fractale se situe entre les deux (ln2 / ln3 ~ 0.631). De même pour le tapis de Sierpinski (Figure 2-2) qui ne rempli pas entièrement le plan (dimension 2) et dont la dimension est supérieure à 1 (ln3 / ln2 ~ 1.585).
Voiçi quelques objets fractals basés sur le principe du tapis de Sierpinski et dont on peut calculer la dimension fractale en appliquant l'invariance d'échelle.
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Figure 3-1: D = ln 8 / ln 3 = 1.893 |
Figure 3-2 : D = ln 5 / ln 3 = 1.465 |
Figure 3-3 : D = ln 5 / ln 3 = 1.465 |
On vient de dire que la
dimension fractionnaire est relatif à son efficacité
(pour une fractale) à occuper l'espace. On voit bien que le
"napperon" de la figure 3-1 occupe bien
plus le plan que les deux autres napperons. Il posséde une
dimension fractale plus proche de 2 que les deux autres fractals. Ces
deux derniers objets fractals ont la même dimension car ils ont
été obtenus par le même pocédé:
A
partir d'un carré de coté 1, on ajoute 1 carré
d'arète 1/3 sur chacun de ses quatre cotés (cas de la
figure 3-3). Sur la figure 3-2, on
enlève 1 carré sur chacun des quatres cotés. Il
est plus difficile de percevoir cette forme itération sur le
figure 3-3 si l'on regarde le napperon (blanc) à
la place de la forme noire dont la limite est ce napperon. C'est une
belle illusion d'optique entre la forme et le fond. Subtile
transition vers une autre de mes pages: Les
illusions d'optique.
Flocon de Koch et dérivés et
objets fractals naturels
La figure ci-dessous s'appelle le flocon de Koch parce qu'elle ressemble à un flocon de neige. D'ailleurs un flocon de neige a bien souvent une dimension fractale. La dimension fractale du flocon de Koch est ln 4 / ln 3. A l'aide du prinicipe de l'invariance d'échelle, si on prend la partie supérieure de la figure, un quart de la figure agrandie trois fois redonne la figure d'origine.
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Figure 4-1 : Flocon de Koch D = ln 4 / ln 3 ~ 1.262 |
A
partir du flocon de Koch, on peut créer des objets fractals
dont la dimension peut varier de 1 à 2 de manière
continu. Sur les trois figures ci-contre, sont montrées les
itérations d'ordre 2 et d'ordre 5 pour des fractals qui
ressemblent au flocon de Koch (la figure du milieu est ce flocon).
Pour obtenir ces figures, on fait varier l'angle a du
triangle - qui devient isocèle - que l'on doit ajouter au
centre du segment. La dimension fractale de l'objet défini par
a (de 0 à 90°) est:
D(a) = ln 4 / ln { 2(1+cos a) }
Elle varie de 1.785 pour a = 85° (figure du haut) jusqu' à 1.07 pour a = 35° (figure du bas). Pour obtenir des objets fractals de dimension comprises entre 0 et 1, il suffit d' utiliser des variantes de la poussière de Kantor (figure 2-1). En supposant la longueur du segment d'origine égale à 1, on peut enlever au centre de ce dernier un segment de longueur a. La dimension fractale de la poussière de Kantor défini par a (de 0 à 1) est:
D(a) = ln 2 / ln { 2 / (1-a) }
On est peut être content d'en savoir un peu plus sur les objets fractals mais on a toujours l'impression qu'ils ont été inventés pour satisfaire le plaisir d'éverveillement des mathématiciens. Et si je vous disais que Nous sommes (pauvres êtres humains) constitués de structures fractales. D'ailleurs la nature et ses représentations sont souvent des objets fractals (le flocon de neige par exemple).
Le sytème sanguin et le système nerveux du corps humain sont construits sur le principe du fractal. Le systéme sanguin, depuis la veine-cave du coeur et l'aorte jusqu'au plus petites ramifications des capillaires.
Il en est de même pour le système pulmonaire partant des bronches jusqu'aux bronchioles et qui possédent une invariance d'échelle.
L' appareil digestif, comment imaginer l' intestin, dont la surface est supérieure à celle d'un terrain de foot, prenant si peu de volume à l'intérieur du corps sans une structure fractale.
On peut voir aussi les branches (ou les racines) des arbres comme des strutures fractales.
Terminons par une phrase de Benoît Mandelbrot qui souligne à quel point la nature peut être complexité et ne pas être réduite à des figures simples: "les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes maritines ne sont pas des cercles, et les éclairs ne sont pas des lignes droites."
L'ensemble de Mandelbrot et Julia:
infiniment complexes et pourtant infiniment simple !
Prennons leur définition respective:
L'ensemble de Mandelbrot est défini comme l'ensemble des complexes Z tels que la suite définie par C(0) = 0 et C(n+1) = C(n)2 + Z ne diverge pas.
L'ensemble de Julia est défini comme l'ensemble des complexes Z tels que la suite définie par C(0) = Z et C(n+1) = C(n)2 + A ne diverge pas, A étant un complexe quelconque.
On voit de suite que l'ensemble de Mandelbrot ne constitue qu'un seul et unique objet alors qu'il existe différentes fractales de Julia pour différentes valeurs du complexe A. Toutes les images fractales liés à l'ensemble de Mandelbrot sont obtenues par agrandissement d'une zone bien définie de l'image principale représentée sur la figure ci-dessus.
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Figure 5-1: Fractale de Mandelbrot |
L'ensemble de Mandelbrot proprement dit est la zone noire (Le point Z=1 est à droite de l'axe de symétrie, le point Z=0 est environ au milieu de l'axe de symétrie). On peut ajouter des couleurs à la partie blanche pour mettre en évidence la vitesse de divergence de la suite ou bien illuminer les zones obtenues par agrandissement (http://perso.wanadoo.fr/sc-sc/index2.htm). On pense de suite à la fractale de Mandelbrot lorsque l'on évoque ce mot. Peut-être parce que Benoît Mandelbrot est le précurseur de l'étude des objets à dimension fractionnaire. J'ai longuement parlé de la dimension d'un objet fractal dans cette page. La fascination de la fractale de Mandelbrot est aussi due à sa dimension entière de 2, ce qui a permis de la surnommer l' "objet le plus compliqué des mathématiques fractales".
Artistiquement parlant, cette fractale semble plate par rapport à certaines dont l'effet 3D est saisissant (http://perso.wanadoo.fr/charles.vassallo/index.html): les fractales de Markus-Lyapounov par exemple. Mais ceci est une autre histoire.
